Высшая математика становится сложной, когда мы ставим определения выше понимания.
Помните, что современное определение высшей математики — это самый продвинутый шаг мысли, не обязательно отправная точка решения задач по высшей математике https://natalibrilenova.ru/razrabotka-tehnologicheskogo-protsessa-formoobrazovaniya-zagotovki-sposobom-listovoj-shtampovki-gotovoe-reshenie-zakaz-6099/. Не бойтесь подходить к концепции с забавной точки зрения — выясните и изучите сначала формулы по высшей математике на — natalibrilenova.ru/vyisshaya-matematika/, стоящее за уравнением.
Развитие интуиции в высшей математике
Наше первоначальное знакомство с идеей высшей математики формирует нашу интуицию. И наша интуиция влияет на то, насколько нам нравится предмет. Что я имею в виду?
Предположим, мы хотим определить «кошку»:
- Определение пещерного человека: пушистое животное с когтями, зубами, хвостом и четырьмя ногами, которое мурлычет, когда счастлив и шипит, когда злится.
- Эволюционное определение: потомки млекопитающих определенного вида, обладающие определенными характеристиками.
- Современное определение: вы называете эти определения ? Кошки — это животные, имеющие днк.
Современное определение в высшей математики точно, конечно. Но лучше ли это ? Это то, чему вы научите ребенка изучать слово? Дает ли это лучшее представление о «кошачьем» животном? Не совсем. Современное определение полезно, но после понимания того, что такое кошка. Это не должно быть нашей отправной точкой.
К сожалению, математическое понимание, похоже, следует шаблону ДНК . Нас учат современному, строгому определению, а не идеям, которые к нему привели. Мы остались с загадочными формулами (ДНК) , но мало понимания того , что идея есть .
Подойдем к идеям под другим углом. Я представляю себе круг: в центре — идея, которую вы изучаете, а по краю — факты, описывающие ее. Мы начинаем с одного момента, с одного факта или идеи, и работаем вокруг, чтобы развить наше понимание. У кошек есть общие физические черты, приводит к тому, что у кошек есть общий предок, приводит к тому, что виды могут быть идентифицированы по определенным участкам ДНК . Ага! Я вижу, как современное определение эволюционировало от определения пещерного человека.
Но не все отправные точки равны. Правильная перспектива заставляет математику щелкать — и математические «пещерные люди», которые первыми обнаружили идею, часто имели поучительную точку зрения. Давайте узнаем, как развивать нашу интуицию.
Что такое круг в высшей математике
Пришло время математического примера: как определить круг?
По-видимому, существует бесчисленное множество определений. Вот несколько:
- Самая симметричная возможная двумерная форма
- Форма, которая получает наибольшую площадь по наименьшему периметрую
- Все точки на плоскости на одинаковом расстоянии от заданной точки (нарисованы циркулем или карандашом на веревочке).
- Точки (x, y) в уравнении x 2 + y 2 = r 2 (аналитическая версия геометрического определения выше)
- Точки в уравнении r * cos (t), r * sin (t) для всех t ( действительно аналитическая версия)
- Форма, касательная линия которой всегда перпендикулярна вектору положения (физическая интерпретация)
Этот список можно продолжить, но вот главное: все факты описывают одну и ту же идею! Это как сказать 1, one, uno, eins, «решение 2x + 3 = 5» или «количество носов на вашем лице» — просто разные названия идеи «единства».
Но эти начальные описания важны — они формируют нашу интуицию. Поскольку мы видим круги в реальном мире перед классом, мы понимаем их «округлость». Независимо от того, какое причудливое уравнение мы видим (x 2 + y 2 = r 2 ), глубоко внутри мы знаем, что круг является «круглым». Если бы мы изобразили это уравнение, и оно выглядело бы квадратным или однобоким, мы бы узнали, что это ошибка.
В детстве мы изучаем определение круга «пещерный человек» (действительно круглый предмет), что дает нам удобную интуицию. Мы видим, что все точки нашей «круглой штуки» находятся на одинаковом расстоянии от центра. x 2 + y 2 = r 2 — это аналитический способ выразить этот факт с помощью теоремы Пифагора для расстояния. Мы начали с одного угла, с нашей интуицией, и постепенно пришли к формальному определению.
Другим идеям не так повезло. Мы инстинктивно видим рост e или это абстрактное определение? Реализуем ли мы вращение i или это искусственная, бесполезная идея?
Стратегия развития понимания высшей математики
Мне все еще нужно напоминать себе о более глубоком значении e и i — что кажется таким же абсурдным, как «вспоминать», что круг круглый или как выглядит кошка! Это должно быть естественное понимание, с которого мы начнем.
Отсутствие общей картины сводит меня с ума: математика — это идеи, а формулы — это просто способ их выразить. Как только основная концепция станет ясной, уравнения встанут на свои места. Вот стратегия, которая мне помогла:
- Шаг 1. Найдите центральную тему математической концепции. Это может быть сложно, но попробуйте начать с истории. Где впервые была использована идея? Что делал первооткрыватель? Это использование может отличаться от нашей современной интерпретации и применения.
- Шаг 2: Объясните свойство / факт, используя тему. Используйте тему, чтобы провести аналогию с формальным определением. Если вам повезет, вы можете перевести математическое уравнение (x 2 + y 2 = r 2 ) в простую английскую формулировку («Все точки на одинаковом расстоянии от центра»).
- Шаг 3. Изучите связанные свойства, используя ту же тему . Если у вас есть подходящая аналогия или толкование, посмотрите, применимо ли оно к другим свойствам. Иногда будет, иногда нет (и вам понадобится новое понимание), но вы будете удивлены тем, что сможете обнаружить.
Реальный пример: понимание е в высшей математике
Понимание числа e было большой битвой. e является всей наукой и имеет множество определений, но редко щелкает естественным образом. Давайте разберемся с этой идеей. В следующем разделе будет несколько уравнений, которые являются просто способами описания идей . Даже если уравнение является тарабарщиной, за ним стоит простая английская идея.
Первый шаг — найти тему. Глядя на историю е , кажется, что она как-то связана с ростом или процентными ставками. e был обнаружен при выполнении бизнес-расчетов (а не абстрактных математических предположений), поэтому «интерес» (рост) является возможной темой.
Давайте посмотрим на первое определение в верхнем левом углу. Ключевым скачком для меня было осознание того, насколько это похоже на формулу сложных процентов. На самом деле, это представляет интерес формула , когда вы соединение 100% доли за 1 единицу времени, компаундирования так быстро , как это возможно.
- Определение 1: Определите e как 100% -ный прирост соединения при наименьшем возможном приращении.
В статье о е описывается эта интерпретация.
Давайте посмотрим на второе определение: бесконечный ряд терминов, становящихся все меньше и меньше. Что бы это могло быть?
После использования темы «процент» мы видим, что это определение показывает компоненты сложных процентов . Теперь понимание не приходит мгновенно — это понимание может появиться после мозгового штурма «Что может представлять 1 + 1 + 1/2 + 1/6 +…», когда речь идет о росте? »
Итак, первый член (1 = 1/0 !, помня, что 0! Равен 1) — это ваша основная сумма, исходная сумма. Следующий член (1 = 1/1!) — это «прямой» процент, который вы заработали — 100% от 1. Следующий член (0,5 = 1/2!) — это сумма денег, которую вы заработали («процент 2-го уровня» ). Следующий член (0,1666 = 1/3!) — это ваш «процент 3-го уровня» — сколько денег заработали проценты по вашему проценту!
Деньги зарабатывают деньги, которые зарабатывают деньги, которые зарабатывают деньги и т. Д. — последовательность разделяет эти взносы (прочтите статью на е, чтобы увидеть, как мистер Блю, мистер Грин и мистер Красный растут независимо). Можно сказать гораздо больше, но это понимание этой идеи, ориентированное на рост.
- Определение 2: Определите e вкладом, который вносит каждый интересующий элемент.
Теперь к третьему и самому короткому определению. Что это значит? Вместо того, чтобы думать о «производной» (которая превращает ваш мозг в режим вычисления уравнений), подумайте о том, что это означает. Чувство уравнения. Сделай это своим другом.
Это расчетный способ сказать: «Ваш темп роста равен вашей текущей сумме». Что ж, рост на вашу текущую сумму будет 100% -ной процентной ставкой, верно? А постоянный рост означает, что вы всегда начисляете проценты — это еще один способ описания непрерывных сложных процентов!
- Определение 3: Определите e как функцию, которая всегда растет на 100% от вашего текущего значения
Ницца — е — это число, при котором вы всегда растете ровно на вашу текущую величину (100%), а не на 1% или 200%.
Время для последнего определения — оно непростое. Вот моя интерпретация: Вместо описания того, как много вы выросли, почему бы не сказать , сколько времени это заняло?
Если вы достигли 1 и растете на 100%, вам потребуется 1 единица времени, чтобы перейти от 1 до 2. Но когда вы достигли 2 и выросли на 100%, это означает, что вы растете на 2 единицы в единицу времени. ! Таким образом, для перехода от 2 к 3 требуется всего 1/2 единицы времени. Переход от 3 к 4 занимает всего 1/3 единицы времени и так далее.
Время, необходимое для увеличения от 1 до A, — это время от 1 до 2, от 2 до 3, от 3 до 4… и так далее, пока вы не дойдете до A. Первое определение определяет натуральный логарифм (ln) как сокращение для этого « время расти »вычисление.
ln (a) — это просто время для роста от 1 до a. Затем мы говорим, что «e» — это число, до которого требуется ровно 1 единица времени. Другими словами, e — это величина роста после ожидания ровно 1 единицу времени!
- Определение 4: Определите время, необходимое для непрерывного роста от 1 до a как ln (a). e — это количество прироста, которое вы получили за 1 единицу времени.
Это четыре разных способа описания загадочного e. Как только у нас появляется основная идея («е — это примерно 100% непрерывный рост»), безумные уравнения встают на свои места — можно переводить вычисления на английский язык. Математика — это идеи!
Для чего нужна высшая математика
На уроках математики мы часто начинаем с последней, самой сложной идеи. Неудивительно, что мы запутались — мы показываем ДНК и ожидаем, что студенты увидят кошку.
Я извлек несколько уроков из этого подхода, и он лежит в основе моего понимания и объяснения математики:
- Ищите идеи и применяйте их. Это первое интуитивное понимание может помочь всему остальному встать на свои места. Начните с определения, которое имеет смысл, и «ходите по кругу», чтобы найти других.
- Развивайте психологическую стойкость. Биться головой о идею — неинтересно. Если не щелкает, взгляните на него под разными углами. Есть еще одна книга, еще одна статья, еще один человек, который объясняет это так, как вам кажется.
- Быть визуальным — это нормально. Мы думаем о математике как о жесткой и аналитической, но визуальная интерпретация — это нормально! Делайте то, что развивает ваше понимание. Мнимые числа вызывали недоумение, пока не стала известна их геометрическая интерпретация, спустя десятилетия после их первоначального открытия. Изучение уравнений в течение всего дня не помогло математикам «понять», что они собой представляют.
